Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 4}{x^{2} + 5 x - 6} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разложим $x^{2} + 5 x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $5$ .

$- 1, 6$

Этап 1.1.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{x + 4}{(x - 1) (x + 6)}$

Этап 1.1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Этап 1.1.3

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$

Этап 1.1.4

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(x - 1) (x + 6)$ .

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) (x - 1) (x + 6)}{(x - 1) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.6

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 4) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.6.2

Разделим $x + 4$ на $1$ .

$x + 4 = \frac{(A) (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1.1

Сократим общий множитель.

$x + 4 = \frac{A (x - 1) (x + 6)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7.1.2

Разделим $(A) (x + 6)$ на $1$ .

$x + 4 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7.3

Перенесем $6$ влево от $A$ .

$x + 4 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7.4

Сократим общий множитель $x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.4.1

Сократим общий множитель.

$x + 4 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 6)}{x + 6}$

Этап 1.1.7.4.2

Разделим $(B) (x - 1)$ на $1$ .

$x + 4 = A x + 6 A + (B) (x - 1)$

Этап 1.1.7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 4 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 1$

Этап 1.1.7.6

Перенесем $- 1$ влево от $B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - 1 \cdot B$

Этап 1.1.7.7

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$x + 4 = A x + 6 A + B x - B$

Этап 1.1.8

Перенесем $6 A$ .

$x + 4 = A x + B x + 6 A - B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$4 = 6 A - 1 B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

$1 = A + B$

$4 = 6 A - 1 B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$4 = 6 A - 1 B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 A - 1 B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $4 = 6 A - 1 B$ на $1 - B$ .

$4 = 6 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $6 (1 - B) - 1 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 = 6 \cdot 1 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$4 = 6 + 6 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$4 = 6 - 6 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.1.4

Перепишем $- 1 B$ в виде $- B$ .

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 6 B - B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Вычтем $B$ из $- 6 B$ .

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

$4 = 6 - 7 B$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $4 = 6 - 7 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $6 - 7 B = 4$ .

$6 - 7 B = 4$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 7 B = 4 - 6$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.2.2

Вычтем $6$ из $4$ .

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

$- 7 B = - 2$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $- 7 B = - 2$ на $- 7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $- 7 B = - 2$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $- 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 7 B}{- 7} = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 7}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{7}$

$A = 1 - B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{2}{7}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{2}{7}$ .

$A = 1 - (\frac{2}{7})$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{2}{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{7}{7} - \frac{2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 1.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{7 - 2}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 1.3.4.2.1.3

Вычтем $2$ из $7$ .

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

$A = \frac{5}{7}$

$B = \frac{2}{7}$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{5}{7}, B = \frac{2}{7}$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 6}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{5}{7}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{7} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Этап 1.5.2

Умножим $\frac{5}{7}$ на $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{\frac{2}{7}}{x + 6}$

Этап 1.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x + 6}$

Этап 1.5.4

Умножим $\frac{2}{7}$ на $\frac{1}{x + 6}$ .

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} + \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{5}{7 (x - 1)} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{5}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{5}{7} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{7 (x + 6)} d x$

Этап 6

Поскольку $\frac{2}{7}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{x + 6} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = x + 6$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = x + 6$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Этап 7.1.2

По правилу суммы производная $x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Этап 7.1.4

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{5}{7} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{7} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 9

Упростим.

$\frac{5}{7} \ln (| u_{1} |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 1$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 6$ .

$\frac{5}{7} \ln (| x - 1 |) + \frac{2}{7} \ln (| x + 6 |) + C$