Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^3 квадратный корень из 1-x^2 по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.4
Добавим и .
Этап 3
Вынесем за скобки.
Этап 4
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 5
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
Производная по равна .
Этап 5.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 6
Умножим .
Этап 7
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Перепишем в виде .
Этап 7.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.2
Добавим и .
Этап 8
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 11
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 12
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Объединим и .
Этап 12.2
Упростим.
Этап 13
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Заменим все вхождения на .
Этап 13.2
Заменим все вхождения на .