Математический анализ Примеры

$\int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (- 6 x) d x$

Этап 1

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$- 6 \int \sqrt[3]{5 - 3 x^{2}} (x) d x$

Этап 2

Пусть $u = 5 - 3 x^{2}$ . Тогда $d u = - 6 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 5 - 3 x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 3 (2 x)$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$0 - 6 x$

Этап 2.1.4

Вычтем $6 x$ из $0$ .

$- 6 x$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 6 \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{- 6} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 6 \int \sqrt[3]{u} (- \frac{1}{6}) d u$

Этап 3.2

Объединим $\sqrt[3]{u}$ и $\frac{1}{6}$ .

$- 6 \int - \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Этап 4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 6 (- \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u)$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 \int \frac{\sqrt[3]{u}}{6} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$6 (\frac{1}{6} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $6$ .

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{6} \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.1.3

Умножим $\int \sqrt[3]{u} d u$ на $1$ .

$\int \sqrt[3]{u} d u$

Этап 7.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{u}$ в виде $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\int u^{\frac{1}{3}} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{3}}$ по $u$ имеет вид $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 3 x^{2}$ .

$\frac{3}{4} {(5 - 3 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C$