Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл x^2 квадратный корень из 1-x^2 по x
Этап 1
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 2
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
Применим формулу Пифагора.
Этап 2.1.2
Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.
Этап 2.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Возведем в степень .
Этап 2.2.2
Возведем в степень .
Этап 2.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.2.4
Добавим и .
Этап 3
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 4
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 5
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Умножим на .
Этап 5.2
Умножим на .
Этап 6
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 7
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Дифференцируем .
Этап 7.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 7.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 7.1.4
Умножим на .
Этап 7.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1.1
Умножим на .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.2
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.2.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.2.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.2.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 9.2.4
Перенесем .
Этап 9.2.5
Умножим на .
Этап 9.2.6
Умножим на .
Этап 9.2.7
Умножим на .
Этап 9.2.8
Вынесем за скобки отрицательное значение.
Этап 9.2.9
Возведем в степень .
Этап 9.2.10
Возведем в степень .
Этап 9.2.11
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.2.12
Добавим и .
Этап 9.2.13
Вычтем из .
Этап 9.2.14
Вычтем из .
Этап 10
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 11
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 12
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 13
Используем формулу половинного угла для записи в виде .
Этап 14
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 15
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 16
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 17
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 17.1.1
Дифференцируем .
Этап 17.1.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 17.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 17.1.4
Умножим на .
Этап 17.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 18
Объединим и .
Этап 19
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 20
Интеграл по имеет вид .
Этап 21
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.1
Упростим.
Этап 21.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 21.2.1
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 21.2.2
Объединим и .
Этап 21.2.3
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 21.2.4
Перенесем влево от .
Этап 21.2.5
Вычтем из .
Этап 22
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Заменим все вхождения на .
Этап 22.2
Заменим все вхождения на .
Этап 22.3
Заменим все вхождения на .
Этап 22.4
Заменим все вхождения на .
Этап 22.5
Заменим все вхождения на .
Этап 23
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1.1
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.1.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 23.1.1.2
Разделим на .
Этап 23.1.2
Умножим на .
Этап 23.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 23.3
Объединим и .
Этап 23.4
Умножим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 23.4.1
Умножим на .
Этап 23.4.2
Умножим на .
Этап 24
Изменим порядок членов.