Математический анализ Примеры

$\int e^{3 x} + 5 e^{- x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int e^{3 x} d x + \int 5 e^{- x} d x$

Этап 2

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 2.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Этап 3

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 e^{- x} d x$

Этап 5

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 e^{- x} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int e^{- x} d x$

Этап 7

Пусть $u_{2} = - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 7.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 7.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 5 (- \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Этап 10

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 5 (e^{u_{2}} + C)$

Этап 11

Упростим.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} - 5 e^{u_{2}} + C$

Этап 12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{u_{2}} + C$

Этап 12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} - 5 e^{- x} + C$