Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 2 \cot (\frac{x}{3}) d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{\frac{π}{2}}^{π} \cot (\frac{x}{3}) d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d x$ , следовательно $3 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{x}{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$u_{lower} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{π}{2}$ на $\frac{1}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) (1 \cdot 3) d u$

Этап 3.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) \cdot 3 d u$

Этап 3.3

Перенесем $3$ влево от $\cot (u)$ .

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 3 \cot (u) d u$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$2 (3 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u)$

Этап 5

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \cot (u) d u$

Этап 6

Интеграл $\cot (u)$ по $u$ имеет вид $\ln (| \sin (u) |)$ .

$6 (\ln (| \sin (u) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Этап 7

Найдем значение $\ln (| \sin (u) |)$ в $\frac{π}{3}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$6 (\ln (| \sin (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |))$

Этап 8.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$6 (\ln (| \frac{\sqrt{3}}{2} |) - \ln (| \frac{1}{2} |))$

Этап 8.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 \ln (\frac{| \frac{\sqrt{3}}{2} |}{| \frac{1}{2} |})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ приблизительно равно $0.8660254$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{| \frac{1}{2} |})$

Этап 9.2

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$6 \ln (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Этап 9.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Сократим общий множитель.

$6 \ln (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2)$

Этап 9.4.2

Перепишем это выражение.

$6 \ln (\sqrt{3})$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$6 \ln (\sqrt{3})$

Десятичная форма:

$3.29583686 \dots$