Математический анализ Примеры

$\int e^{- x} \sin (4 x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\sin (4 x)$ .

$\int \sin (4 x) e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (4 x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (4 \cos (4 x)) d x$

Этап 3

Поскольку $- 1 \cdot 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1 \cdot 4$ из-под знака интеграла.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - (- 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x)$

Этап 4.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int e^{- x} (\cos (4 x)) d x$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{- x}$ и $\cos (4 x)$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 \int \cos (4 x) e^{- x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (4 x)$ и $d v = e^{- x}$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 4 \sin (4 x)) d x)$

Этап 6

Поскольку $- - 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- - 4$ из-под знака интеграла.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (- - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Этап 7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - (4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x))$

Этап 7.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x}) - 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (4 x) (- e^{- x}) + 4 (\cos (4 x) (- e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Этап 7.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) + 4 (- 4 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x)$

Этап 7.4.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x})) - 16 \int e^{- x} (\sin (4 x)) d x$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ , получим $\int e^{- x} \sin (4 x) d x$ = $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17}$ .

$\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 (\cos (4 x) (e^{- x}))}{17} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\sin (4 x) (- e^{- x}) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ в виде $\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$ .

$\frac{- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \sin (4 x) e^{- x} - 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- \sin (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) - 4 \cos (4 x) e^{- x}}{17} + C$

Этап 9.2.1.1.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- 4 \cos (4 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Этап 9.2.1.1.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- \sin (4 x)) + e^{- x} (- 4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (4 x) - 4 \cos (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Этап 9.2.1.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \cos (4 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x)))}{17} + C$

Этап 9.2.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (4 x)) - (4 \cos (4 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)))}{17} + C$

$\frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Этап 9.2.1.3

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x))}{17} + C$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{17} e^{- x} (\sin (4 x) + 4 \cos (4 x)) + C$