Математический анализ Примеры

$\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$

Этап 1

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $\sin (2 x)$ .

$\int \sin (2 x) e^{- 2 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (2 x)$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 \cos (2 x)) d x$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$\sin (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 4.2

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 4.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (\cos (2 x)) d x)$

Этап 4.5

Изменим порядок $e^{- 2 x}$ и $\cos (2 x)$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) e^{- 2 x} d x)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (2 x)$ и $d v = e^{- 2 x}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (- 2 \sin (2 x)) d x))$

Этап 6

Поскольку $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{1}{2} \cdot - 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (\cos (2 x) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Этап 7.2

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot - 2 \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Этап 7.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Этап 7.4

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)))$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}) - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Этап 7.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{- 2}{2}) \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Этап 7.6.2

Умножим $\frac{- 2}{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2}{2} \cdot \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Этап 7.7

Умножим $\frac{- 2}{2}$ на $\frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Этап 7.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} - \frac{- 2}{2} (- (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x))$

Этап 7.8.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + 1 (\frac{- 2}{2}) (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Этап 7.8.3

Умножим $\frac{- 2}{2}$ на $1$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 2}{2} (\frac{2}{2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x)$

Этап 7.9

Умножим $\frac{2}{2}$ на $\frac{- 2}{2}$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Этап 7.10

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{2 \cdot 2} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Этап 7.10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4} + \frac{- 4}{4} \int e^{- 2 x} (\sin (2 x)) d x$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ , получим $\int e^{- 2 x} \sin (2 x) d x$ = $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 2 (\cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos (2 x) e^{- 2 x}$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{4}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 (2)}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{2 (- \cos (2 x) e^{- 2 x})}{2 \cdot 2}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} + \frac{- \cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{8}{4}} + C$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4}} + C$

Этап 9.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 (1)}} + C$

Этап 9.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}} + C$

Этап 9.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{\frac{2}{1}} + C$

Этап 9.1.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$

Этап 9.2

Перепишем $\frac{- \frac{\sin (2 x) e^{- 2 x}}{2} - \frac{\cos (2 x) e^{- 2 x}}{2}}{2} + C$ в виде $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \sin (2 x) e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\sin (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Этап 9.3.2

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \cos (2 x) e^{- 2 x}) + C$

Этап 9.3.3

Объединим $\cos (2 x)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{\cos (2 x)}{2} e^{- 2 x}) + C$

Этап 9.3.4

Объединим $e^{- 2 x}$ и $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Этап 9.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Этап 9.4.2

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Этап 9.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}) + C$

Этап 9.4.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Этап 9.4.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{e^{- 2 x} \sin (2 x)}{4} - \frac{e^{- 2 x} \cos (2 x)}{4} + C$

Этап 9.5

Избавимся от скобок.

$- \frac{1}{4} e^{- 2 x} \sin (2 x) - \frac{1}{4} e^{- 2 x} \cos (2 x) + C$