Математический анализ Примеры

$\int \cos^{7} (x) \sin (x) d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - u^{7} d u$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int u^{7} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$- (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Этап 4

Перепишем $- (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ в виде $- \frac{1}{8} u^{8} + C$ .

$- \frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{8} \cos^{8} (x) + C$