Математический анализ Примеры

Вычислим интеграл интеграл cos(x)^7 по x
Этап 1
Вынесем за скобки.
Этап 2
Упростим с помощью разложения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.2
Перепишем в виде степенного выражения.
Этап 3
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 4
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
Дифференцируем .
Этап 4.1.2
Производная по равна .
Этап 4.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 5
Развернем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 5.2
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.3
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.4
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.5
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.6
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.7
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 5.8
Перенесем .
Этап 5.9
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.10
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.11
Перенесем .
Этап 5.12
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.13
Перенесем круглые скобки.
Этап 5.14
Перенесем .
Этап 5.15
Умножим на .
Этап 5.16
Умножим на .
Этап 5.17
Умножим на .
Этап 5.18
Умножим на .
Этап 5.19
Умножим на .
Этап 5.20
Умножим на .
Этап 5.21
Умножим на .
Этап 5.22
Умножим на .
Этап 5.23
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.24
Добавим и .
Этап 5.25
Умножим на .
Этап 5.26
Умножим на .
Этап 5.27
Вынесем за скобки отрицательное значение.
Этап 5.28
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.29
Добавим и .
Этап 5.30
Вынесем за скобки отрицательное значение.
Этап 5.31
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 5.32
Добавим и .
Этап 5.33
Изменим порядок и .
Этап 5.34
Перенесем .
Этап 5.35
Изменим порядок и .
Этап 5.36
Перенесем .
Этап 5.37
Перенесем .
Этап 5.38
Изменим порядок и .
Этап 6
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 7
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 8
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 9
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 10
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 11
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 12
По правилу степени интеграл по имеет вид .
Этап 13
Применим правило дифференцирования постоянных функций.
Этап 14
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 14.1.1
Объединим и .
Этап 14.1.2
Объединим и .
Этап 14.1.3
Объединим и .
Этап 14.2
Упростим.
Этап 15
Заменим все вхождения на .
Этап 16
Изменим порядок членов.