Математический анализ Примеры

$\int \cot^{2} (7 x) d x$

Этап 1

Пусть $u = 7 x$ . Тогда $d u = 7 d x$ , следовательно $\frac{1}{7} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 7 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \cot^{2} (u) \frac{1}{7} d u$

Этап 2

Объединим $\cot^{2} (u)$ и $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{\cot^{2} (u)}{7} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{7}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{7}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} \int \cot^{2} (u) d u$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (u)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{7} \int - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{7} (\int - 1 d u + \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{7} (- u + C + \int \csc^{2} (u) d u)$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (u)$ равна $\csc^{2} (u)$ , интеграл $\csc^{2} (u)$ равен $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{7} (- u + C - \cot (u) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{7} (- u - \cot (u)) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$\frac{1}{7} (- (7 x) - \cot (7 x)) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{1}{7} (- 7 x - \cot (7 x)) + C$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{7} (- 7 x) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Этап 10.3

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $7$ из $- 7 x$ .

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Этап 10.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{7} (7 (- x)) + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Этап 10.3.3

Перепишем это выражение.

$- x + \frac{1}{7} (- \cot (7 x)) + C$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{7}$ и $\cot (7 x)$ .

$- x - \frac{\cot (7 x)}{7} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- x - \frac{1}{7} \cot (7 x) + C$