Математический анализ Примеры

$\int \cot^{4} (x) d x$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int {\cot (x)}^{2 (2)} d x$

Этап 1.2

Перепишем ${\cot (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int {(\cot^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int {(- 1 + \csc^{2} (x))}^{2} d x$

Этап 3

Упростим.

$\int 1 - 2 \csc^{2} (x) + \csc^{4} (x) d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d x + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Этап 5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$x + C + \int - 2 \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Этап 6

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$x + C - 2 \int \csc^{2} (x) d x + \int \csc^{4} (x) d x$

Этап 7

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) + \int \csc^{4} (x) d x$

Этап 8

Применим формулу приведения.

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} \int \csc^{2} (x) d x$

Этап 9

Поскольку производная $- \cot (x)$ равна $\csc^{2} (x)$ , интеграл $\csc^{2} (x)$ равен $- \cot (x)$ .

$x + C - 2 (- \cot (x) + C) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x) + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2}{3} (- \cot (x)) + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\cot (x)$ .

$x + 2 \cot (x) - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Этап 10.2.2

Чтобы записать $2 \cot (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + 2 \cot (x) \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Этап 10.2.3

Объединим $2 \cot (x)$ и $\frac{3}{3}$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3}{3} - \frac{2 \cot (x)}{3} + C$

Этап 10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{2 \cot (x) \cdot 3 - 2 \cot (x)}{3} + C$

Этап 10.2.5

Умножим $3$ на $2$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{6 \cot (x) - 2 \cot (x)}{3} + C$

Этап 10.2.6

Вычтем $2 \cot (x)$ из $6 \cot (x)$ .

$x - \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{3} + \frac{4 \cot (x)}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$x - \frac{1}{3} \cot (x) \csc^{2} (x) + \frac{4}{3} \cot (x) + C$