Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

Этап 1

Пусть $u = 1 - 6 t$ . Тогда $d u = - 6 d t$ , следовательно $- \frac{1}{6} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 - 6 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 - 6 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 - 6 t$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 t$ по $t$ равна $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 6 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$0 - 6$

Этап 1.1.4

Вычтем $6$ из $0$ .

$- 6$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{u^{4}}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

Этап 2.3

Перенесем $6$ влево от $u^{4}$ .

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

Этап 5.1.2

Объединим $t$ и $\frac{d}{6}$ .

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $u^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

Этап 7.1.2

Перенесем $u^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

Этап 7.2

Перепишем $- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ в виде $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ .

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Этап 7.3.2

Объединим $d$ и $\frac{t}{6}$ .

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

Этап 7.3.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 7.3.4

Умножим $\frac{d t}{6}$ на $1$ .

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 7.3.5

Умножим $\frac{d t}{6}$ на $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

Этап 7.3.6

Умножим $3$ на $6$ .

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 6 t$ .

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$