Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{9 - x^{2}}} d x d x$

Этап 1

Пусть $x = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $3 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3 \cos (t)$ из ${(3 \sin (t))}^{2} (3 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{3 \cos (t) ({(3 \sin (t))}^{2})} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{3 \cos (t) {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t d x$

Этап 2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{{(3 \sin (t))}^{2}} d t d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} d t d x$

Этап 2.2.2.2

Применим правило умножения к $3 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{3^{2} \sin^{2} (t)} d t d x$

Этап 2.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{9 \sin^{2} (t)} d t d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Переведем $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ в $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{9} \int \csc^{2} (t) d t d x$

Этап 4.2

Объединим $d$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{d}{9} \int \csc^{2} (t) d t x$

Этап 4.3

Объединим $x$ и $\frac{d}{9}$ .

$\frac{x d}{9} \int \csc^{2} (t) d t$

Этап 5

Поскольку производная $- \cot (t)$ равна $\csc^{2} (t)$ , интеграл $\csc^{2} (t)$ равен $- \cot (t)$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{x d}{9} (- \cot (t) + C)$ в виде $\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$ .

$\frac{1}{9} x d (- \cot (t)) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $x$ .

$\frac{x}{9} d (- \cot (t)) + C$

Этап 6.2.2

Объединим $\frac{x}{9}$ и $d$ .

$\frac{x d}{9} (- \cot (t)) + C$

Этап 6.2.3

Объединим $\frac{x d}{9}$ и $\cot (t)$ .

$- \frac{x d \cot (t)}{9} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$- \frac{x d \cot (\arcsin (\frac{x}{3}))}{9} + C$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ . Следовательно, $\cot (\arcsin (\frac{x}{3}))$ равно $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}{\frac{x}{3}}}{9} + C$

Этап 8.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{x d (\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{x d (\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.7

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.9

Умножим $\frac{3 + x}{3}$ на $\frac{3 - x}{3}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.10

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.11

Перепишем $\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(3 + x) (3 - x)$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.11.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$- \frac{x d (\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.11.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{x d (\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$- \frac{x d (\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.13

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{x d (\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \cdot \frac{3}{x})}{9} + C$

Этап 8.14.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{x d (\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \frac{1}{x})}{9} + C$

Этап 8.15

Объединим $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ и $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x d \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Этап 8.16

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.16.1

Объединим $x$ и $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{d \frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Этап 8.16.2

Объединим $d$ и $\frac{x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ .

$- \frac{\frac{d (x \sqrt{(3 + x) (3 - x)})}{x}}{9} + C$

Этап 8.17

Избавимся от ненужных скобок.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Этап 8.18

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.18.1

Сократим выражение $\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.18.1.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{\frac{d x \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{x}}{9} + C$

Этап 8.18.1.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{\frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{1}}{9} + C$

Этап 8.18.2

Разделим $d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ на $1$ .

$- \frac{d \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{9} + C$

$- \frac{1}{9} d \sqrt{(3 + x) (3 - x)} + C$