Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{5 - 3 x} d x d x$

Этап 1

Пусть $u = 5 - 3 x$ . Тогда $d u = - 3 d x$ , следовательно $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 5 - 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $5 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 - 3 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $5 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$0 - 3$

Этап 1.1.4

Вычтем $3$ из $0$ .

$- 3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u d x$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u d x$

Этап 2.3

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u d x$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{3 u} d u d x$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $d$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{d}{3} \int \frac{1}{u} d u x$

Этап 5.2

Объединим $x$ и $\frac{d}{3}$ .

$- \frac{x d}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- \frac{x d}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $- \frac{x d}{3} (\ln (| u |) + C)$ в виде $- \frac{1}{3} x d \ln (| u |) + C$ .

$- \frac{1}{3} x d \ln (| u |) + C$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x}{3} d \ln (| u |) + C$

Этап 7.2.2

Объединим $d$ и $\frac{x}{3}$ .

$- \frac{d x}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 7.2.3

Объединим $\ln (| u |)$ и $\frac{d x}{3}$ .

$- \frac{\ln (| u |) d x}{3} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $5 - 3 x$ .

$- \frac{\ln (| 5 - 3 x |) d x}{3} + C$

Этап 9

Избавимся от скобок.

$- \frac{1}{3} \ln (| 5 - 3 x |) d x + C$