Математический анализ Примеры

$\int t^{2} \cos (t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t^{2}$ и $d v = \cos (t)$ .

$t^{2} \sin (t) - \int \sin (t) (2 t) d t$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$t^{2} \sin (t) - (2 \int \sin (t) (t) d t)$

Этап 3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 \int \sin (t) (t) d t$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = \sin (t)$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - \int - \cos (t) d t)$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - - \int \cos (t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + 1 \int \cos (t) d t)$

Этап 6.2

Умножим $\int \cos (t) d t$ на $1$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \int \cos (t) d t)$

Этап 7

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$

Этап 8

Перепишем $t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$ в виде $t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$