Математический анализ Примеры

\int t^{2} cos (t) d t

$\int t^{2} \cos (t) d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

u = t^{2}

$u = t^{2}$ и

d v = cos (t)

$d v = \cos (t)$ .

t^{2} sin (t) - \int sin (t) (2 t) d t

$t^{2} \sin (t) - \int \sin (t) (2 t) d t$

Этап 2

Поскольку

2

$2$ — константа по отношению к

t

$t$ , вынесем

2

$2$ из-под знака интеграла.

t^{2} sin (t) - (2 \int sin (t) (t) d t)

$t^{2} \sin (t) - (2 \int \sin (t) (t) d t)$

Этап 3

Умножим

2

$2$ на

- 1

$- 1$ .

t^{2} sin (t) - 2 \int sin (t) (t) d t

$t^{2} \sin (t) - 2 \int \sin (t) (t) d t$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , где

$u = t$ и

$d v = \sin (t)$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - \int - \cos (t) d t)$

Этап 5

Поскольку

$- 1$ — константа по отношению к

$t$ , вынесем

$- 1$ из-под знака интеграла.

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) - - \int \cos (t) d t)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим

$- 1$ на

$- 1$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + 1 \int \cos (t) d t)$

Этап 6.2

Умножим

$\int \cos (t) d t$ на

$1$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \int \cos (t) d t)$

Этап 7

Интеграл

$\cos (t)$ по

$t$ имеет вид

$\sin (t)$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$

Этап 8

Перепишем

$t^{2} \sin (t) - 2 (t (- \cos (t)) + \sin (t) + C)$ в виде

$t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$ .

$t^{2} \sin (t) - 2 (- t \cos (t) + \sin (t)) + C$