Математический анализ Примеры

$\int \tan^{3} (x) \sec^{4} (x) d x$

Этап 1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\int \tan^{3} (x) {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Этап 1.2

Перепишем ${\sec (x)}^{2 + 2}$ в виде $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 2

Используя формулы Пифагора, запишем $\sec^{2} (x)$ в виде $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \tan^{3} (x) ((1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x)) d x$

Этап 3

Пусть $u = \tan (x)$ . Тогда $d u = \sec^{2} (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \tan (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3.1.2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{3} (1 + u^{2}) d u$

Этап 4

Умножим $u^{3} (1 + u^{2})$ .

$\int u^{3} \cdot 1 + u^{3} u^{2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $u^{3}$ на $1$ .

$\int u^{3} + u^{3} u^{2} d u$

Этап 5.2

Умножим $u^{3}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{3} + u^{3 + 2} d u$

Этап 5.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\int u^{3} + u^{5} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{3} d u + \int u^{5} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{5} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{5}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{6} u^{6} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$\frac{1}{4} \tan^{4} (x) + \frac{1}{6} \tan^{6} (x) + C$