Математический анализ Примеры

$\int \tan^{3} (4 x) d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Тогда $d u_{1} = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 4 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \tan^{3} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

Этап 2

Объединим $\tan^{3} (u_{1})$ и $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\tan^{3} (u_{1})}{4} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} \int \tan^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 4

Вынесем $\tan^{2} (u_{1})$ за скобки.

$\frac{1}{4} \int \tan^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Этап 5

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (u_{1})$ в виде $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} \int (- 1 + \sec^{2} (u_{1})) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} \int - 1 \tan (u_{1}) + \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{4} (\int - 1 \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} (- \int \tan (u_{1}) d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Этап 9

Интеграл $\tan (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| \sec (u_{1}) |)$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int \sec^{2} (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1})$

Этап 10

Пусть $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \sec (u_{1}) \tan (u_{1}) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{\sec (u_{1}) \tan (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u_{2} = \sec (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $\sec (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})]$

Этап 10.1.2

Производная $\sec (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \int u_{2} d u_{2})$

Этап 11

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{4} (- (\ln (| \sec (u_{1}) |) + C) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 12

Упростим.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (u_{1}) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Этап 13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Этап 13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sec (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (u_{1})) + C$

Этап 13.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{2} \sec^{2} (4 x)) + C$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sec^{2} (4 x)$ .

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{\sec^{2} (4 x)}{2}) + C$

Этап 14.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{4} (- \ln (| \sec (4 x) |)) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (| \sec (4 x) |)$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sec^{2} (4 x)}{2} + C$

Этап 14.4

Объединим.

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{1 \sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Этап 14.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $\sec^{2} (4 x)$ на $1$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{4 \cdot 2} + C$

Этап 14.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$- \frac{\ln (| \sec (4 x) |)}{4} + \frac{\sec^{2} (4 x)}{8} + C$

Этап 15

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{4} \ln (| \sec (4 x) |) + \frac{1}{8} \sec^{2} (4 x) + C$