Математический анализ Примеры

$\int \sin^{7} (x) \cos^{5} (x) d x$

Этап 1

Вынесем $\cos^{4} (x)$ за скобки.

$\int \sin^{7} (x) (\cos^{4} (x) \cos (x)) d x$

Этап 2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\int \sin^{7} (x) ({\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x)) d x$

Этап 2.2

Перепишем ${\cos (x)}^{2 (2)}$ в виде степенного выражения.

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

$\int \sin^{7} (x) ({(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cos^{2} (x)$ в виде $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{7} (x) ({(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x)) d x$

Этап 4

Пусть $u = \sin (x)$ . Тогда $d u = \cos (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \sin (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

$\cos (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

$\int u^{7} {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Этап 5

Развернем $u^{7} {(1 - u^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${(1 - u^{2})}^{2}$ в виде $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int u^{7} ((1 - u^{2}) (1 - u^{2})) d u$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) d u$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int u^{7} (1 \cdot 1) + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.8

Перенесем $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 (- u^{2})) + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.9

Перенесем круглые скобки.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + u^{7} (1 \cdot - 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.10

Перенесем $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} \cdot 1) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.11

Перенесем $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1 u^{2}) + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.12

Перенесем круглые скобки.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot 1) u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.13

Перенесем $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

Этап 5.14

Перенесем $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

Этап 5.15

Перенесем круглые скобки.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

Этап 5.16

Перенесем круглые скобки.

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} + u^{7} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.17

Перенесем $u^{7}$ .

$\int 1 \cdot 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.18

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.19

Умножим $u^{7}$ на $1$ .

$\int u^{7} + 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.20

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int u^{7} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.21

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{7} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{7} - u^{7 + 2} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.23

Добавим $7$ и $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - 1 \cdot 1 u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.24

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.25

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int u^{7} - u^{9} - (u^{7} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.26

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{7 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.27

Добавим $7$ и $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} - 1 \cdot - 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.28

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + 1 u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.29

Умножим $u^{7}$ на $1$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7} u^{2} u^{2} d u$

Этап 5.30

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{7 + 2} u^{2} d u$

Этап 5.31

Добавим $7$ и $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9} u^{2} d u$

Этап 5.32

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{9 + 2} d u$

Этап 5.33

Добавим $9$ и $2$ .

$\int u^{7} - u^{9} - u^{9} + u^{11} d u$

Этап 5.34

Вычтем $u^{9}$ из $- u^{9}$ .

$\int u^{7} - 2 u^{9} + u^{11} d u$

Этап 5.35

Изменим порядок $- 2 u^{9}$ и $u^{11}$ .

$\int u^{7} + u^{11} - 2 u^{9} d u$

Этап 5.36

Перенесем $u^{7}$ .

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

$\int u^{11} - 2 u^{9} + u^{7} d u$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int u^{11} d u + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Этап 7

По правилу степени интеграл $u^{11}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{12} u^{12}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C + \int - 2 u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Этап 8

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 \int u^{9} d u + \int u^{7} d u$

Этап 9

По правилу степени интеграл $u^{9}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \int u^{7} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{7}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{1}{10} u^{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $u^{10}$ .

$\frac{1}{12} u^{12} + C - 2 (\frac{u^{10}}{10} + C) + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 11.2

Упростим.

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

$\frac{u^{12}}{12} - \frac{u^{10}}{5} + \frac{1}{8} u^{8} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{12} (x)}{12} - \frac{\sin^{10} (x)}{5} + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

Этап 13

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{12} \sin^{12} (x) - \frac{1}{5} \sin^{10} (x) + \frac{1}{8} \sin^{8} (x) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$