Математический анализ Примеры

$\int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (12 x^{2}) d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \sqrt{1 + 4 x^{3}} (x^{2}) d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + 4 x^{3}$ . Тогда $d u = 12 x^{2} d x$ , следовательно $\frac{1}{12} d u = x^{2} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + 4 x^{3}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + 4 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + 4 (3 x^{2})$

Этап 2.1.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$0 + 12 x^{2}$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$12 \int \sqrt{u} \frac{1}{12} d u$

Этап 3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{12}$ .

$12 \int \frac{\sqrt{u}}{12} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{12}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{12}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{12} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{12}$ и $12$ .

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{12} \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int \sqrt{u} d u$ на $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Этап 5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $1 + 4 x^{3}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + 4 x^{3})}^{\frac{3}{2}} + C$