Математический анализ Примеры

$\int t e^{- t} d t$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{- t}$ .

$t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t$

Этап 2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t$

Этап 3.2

Умножим $\int e^{- t} d t$ на $1$ .

$t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t$

Этап 4

Пусть $u = - t$ . Тогда $d u = - d t$ , следовательно $- d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = - t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Этап 4.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$

Этап 7

Перепишем $t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)$ в виде $- t e^{- t} - e^{u} + C$ .

$- t e^{- t} - e^{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $- t$ .

$- t e^{- t} - e^{- t} + C$