Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x)$ , $a = \frac{π}{3}$

Этап 1

Рассмотрим функцию, используемую для нахождения линеаризации в $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Этап 2

Подставим значение $a = \frac{π}{3}$ в функцию линеаризации.

$L (x) = f (\frac{π}{3}) + f' (\frac{π}{3}) (x - \frac{π}{3})$

Этап 3

Найдем значение $f (\frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.2

Упростим $\sin (\frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Избавимся от скобок.

$\sin (\frac{π}{3})$

Этап 3.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 4

Найдем производную и ее значение при $\frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Этап 4.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$\cos (\frac{π}{3})$

Этап 4.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{3})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 5

Подставим компоненты в функцию линеаризации, чтобы найти линеаризацию в $a$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} (x - \frac{π}{3})$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{π}{3})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{1}{2} (- \frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 6.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$L (x) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{π}{6}$

Этап 7