Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sin (x)}{\sqrt{\cos^{3} (x)}} d x$

Этап 1

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- d u = \sin (x) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{\sqrt{u^{3}}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u^{3}}$ в виде $u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{3}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$- \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Этап 4.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{3}{2}}$ по $u$ имеет вид $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $- (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ в виде $- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$- (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 6.2.4

Умножим $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$\frac{2}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} + C$

Этап 8.2

Переведем $\frac{1}{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ в ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{1} {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 8.3

Разделим $2$ на $1$ .

$2 {\sec (x)}^{\frac{1}{2}} + C$