Математический анализ Примеры

$\int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} 5 \sec^{2} (x) d x$

Этап 1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (x) d x$

Этап 2

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$5 (\tan (x)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}})$

Этап 3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\tan (x)$ в $\frac{π}{6}$ и в $- \frac{π}{6}$ .

$5 (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Этап 3.3.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как тангенс отрицательный в четвертом квадранте.

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Этап 3.3.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.3.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.3.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ на $1$ .

$5 (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Этап 3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.6

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.7

Умножим $5 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Объединим $5$ и $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{5 (2 \sqrt{3})}{3}$

Этап 3.3.7.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$5.77350269 \dots$