Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot (x) d x$

Этап 1

Интеграл $\cot (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sin (x) |)$ .

$\ln (| \sin (x) |)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$

Этап 2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем значение $\ln (| \sin (x) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{6}$ .

$\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{6}) |)$

Этап 2.2.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{1}{2} |)$

Этап 2.2.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| \frac{1}{2} |})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\ln (\frac{1}{| \frac{1}{2} |})$

Этап 2.3.2

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\ln (\frac{1}{\frac{1}{2}})$

Этап 2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (1 \cdot 2)$

Этап 2.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\ln (2)$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\ln (2)$

Десятичная форма:

$0.69314718 \dots$