Математический анализ Примеры

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} 8 \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \csc (2 x) d x + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 3.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Этап 3.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 3.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 3.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 3.7

Переформулируем задачу, используя $u_{1}$ , $d u_{1}$ и новые пределы интегрирования.

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 4

Объединим $\csc (u_{1})$ и $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\csc (u_{1})}{2} d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 6.2.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \csc (u_{1}) d u_{1} + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 7

Интеграл $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} - 8 \cot (2 x) d x$

Этап 8

Поскольку $- 8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 8$ из-под знака интеграла.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{8}}^{\frac{π}{4}} \cot (2 x) d x$

Этап 9

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Тогда $d u_{2} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Пусть $u_{2} = 2 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 9.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 9.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 9.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{8}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$u_{lower} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

Этап 9.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Этап 9.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Этап 9.5.3

Перепишем это выражение.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 9.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = \frac{π}{4}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Этап 9.7

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 10

Объединим $\cot (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cot (u_{2})}{2} d u_{2}$

Этап 11

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 8 (\frac{1}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2})$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 8}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2.2.2

Сократим общий множитель.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2.2.3

Перепишем это выражение.

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) + \frac{- 4}{1} \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 12.2.2.4

Разделим $- 4$ на $1$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cot (u_{2}) d u_{2}$

Этап 13

Интеграл $\cot (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ .

$4 (\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 14

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Найдем значение $\ln (| \csc (u_{1}) - \cot (u_{1}) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (u_{2}) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}})$

Этап 14.2

Найдем значение $\ln (| \sin (u_{2}) |)$ в $\frac{π}{2}$ и в $\frac{π}{4}$ .

$4 ((\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 ((\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |)) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 14.3

Избавимся от скобок.

$4 (\ln (| \csc (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Точное значение $\csc (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$4 (\ln (| 1 - \cot (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15.2

Точное значение $\cot (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15.3

Точное значение $\csc (\frac{π}{4})$ : $\sqrt{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15.4

Точное значение $\cot (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| \sin (\frac{π}{2}) |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sin (\frac{π}{4}) |))$

Этап 15.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 (\ln (| 1 - 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Этап 15.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$4 (\ln (| 1 + 0 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Этап 15.8

Добавим $1$ и $0$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Этап 15.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Этап 15.10

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 (\ln (| 1 |) - \ln (| \frac{\sqrt{2}}{2} |))$

Этап 15.11

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$4 \ln (\frac{| 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{| \sqrt{2} - 1 |}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 16.2

$\sqrt{2} - 1$ приблизительно равно $0.41421356$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{| 1 |}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 16.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{| \frac{\sqrt{2}}{2} |})$

Этап 16.4

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ приблизительно равно $0.70710678$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Этап 16.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (1 \frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 16.6

Умножим $\frac{2}{\sqrt{2}}$ на $1$ .

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Этап 17

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$4 \ln (\frac{1}{\sqrt{2} - 1}) - 4 \ln (\frac{2}{\sqrt{2}})$

Десятичная форма:

$2.13919998 \dots$