Математический анализ Примеры

$\int r^{2} e^{- \frac{2 r}{a}} d r$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = r^{2}$ и $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$r^{2} (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $e^{- \frac{2 r}{a}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Этап 2.2

Объединим $a$ и $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$r^{2} (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Этап 2.3

Объединим $r^{2}$ и $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a (2 r) d r$

Этап 3

Поскольку $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $- \frac{1}{2} a \cdot 2$ из-под знака интеграла.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{1}{2} a \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- \frac{a}{2} \cdot 2 \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- 2 \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- 2 a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 a$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 (1)} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{2 (- a)}{2 \cdot 1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (\frac{- a}{1} \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.4.2.4

Разделим $- a$ на $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - (- a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 (a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r)$

Этап 4.6

Умножим $a$ на $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a \int e^{- \frac{2 r}{a}} (r) d r$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = r$ и $d v = e^{- \frac{2 r}{a}}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $e^{- \frac{2 r}{a}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Этап 6.2

Объединим $a$ и $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (r (- \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Этап 6.3

Объединим $r$ и $\frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a d r)$

Этап 6.4

Объединим $e^{- \frac{2 r}{a}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} a d r)$

Этап 6.5

Объединим $a$ и $\frac{e^{- \frac{2 r}{a}}}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \int - \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Этап 7

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - - \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + 1 \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Этап 8.2

Умножим $\int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r$ на $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \int \frac{a e^{- \frac{2 r}{a}}}{2} d r)$

Этап 9

Поскольку $\frac{a}{2}$ — константа по отношению к $r$ , вынесем $\frac{a}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int e^{- \frac{2 r}{a}} d r)$

Этап 10

Пусть $u = - \frac{2 r}{a}$ . Тогда $d u = - \frac{2}{a} d r$ , следовательно $- \frac{a}{2} d u = d r$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Пусть $u = - \frac{2 r}{a}$ . Найдем $\frac{d u}{d r}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Дифференцируем $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{d}{d r} [- \frac{2 r}{a}]$

Этап 10.1.2

Поскольку $- \frac{2}{a}$ является константой относительно $r$ , производная $- \frac{2 r}{a}$ по $r$ равна $- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- \frac{2}{a} \frac{d}{d r} [r]$

Этап 10.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2}{a} \cdot 1$

Этап 10.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{a}$

Этап 10.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{2}{a}} d u)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{2}{a}} d u)$

Этап 11.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{2}{a}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} (1 \frac{a}{2}) d u)$

Этап 11.3

Умножим $\frac{a}{2}$ на $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - e^{u} \frac{a}{2} d u)$

Этап 11.4

Объединим $\frac{a}{2}$ и $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} \int - \frac{a e^{u}}{2} d u)$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- \int \frac{a e^{u}}{2} d u))$

Этап 13

Поскольку $\frac{a}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{a}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + \frac{a}{2} (- (\frac{a}{2} \int e^{u} d u)))$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $\frac{a}{2}$ на $\frac{a}{2}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a \cdot a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.2

Возведем $a$ в степень $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.3

Возведем $a$ в степень $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1} a^{1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{1 + 1}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Этап 14.6

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} \int e^{u} d u)$

Этап 15

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$

Этап 16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перепишем $- \frac{r^{2} (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} + a (- \frac{r (a e^{- \frac{2 r}{a}})}{2} - \frac{a^{2}}{4} (e^{u} + C))$ в виде $- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$ .

$- \frac{1}{2} r^{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Объединим $r^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{r^{2}}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.2

Объединим $a$ и $\frac{r^{2}}{2}$ .

$- \frac{a r^{2}}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.3

Объединим $e^{- \frac{2 r}{a}}$ и $\frac{a r^{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{1}{2} r a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.4

Объединим $r$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{r}{2} a e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.5

Объединим $a$ и $\frac{r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{a r}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.6

Объединим $e^{- \frac{2 r}{a}}$ и $\frac{a r}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{1}{4} a^{2} e^{u}) + C$

Этап 16.2.7

Объединим $a^{2}$ и $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{a^{2}}{4} e^{u}) + C$

Этап 16.2.8

Объединим $e^{u}$ и $\frac{a^{2}}{4}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) + C$

Этап 16.2.9

Чтобы записать $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 16.2.10

Объединим $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2})}{2} + \frac{a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 16.2.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 16.2.12

Перенесем $2$ влево от $a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{u} a^{2}}{4})}{2} + C$

Этап 17

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{2 r}{a}$ .

$\frac{- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} (a r)}{2} - \frac{e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2}}{4})}{2} + C$

Этап 18

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} (- e^{- \frac{2 r}{a}} (a r^{2}) + 2 a (- \frac{1}{2} e^{- \frac{2 r}{a}} a r - \frac{1}{4} e^{- \frac{2 r}{a}} a^{2})) + C$