Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{e^{x}}{4 + e^{x}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $4 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 2.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |) + C)$

Этап 4

Упростим.

$3 \ln (| u |) + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $4 + e^{x}$ .

$3 \ln (| 4 + e^{x} |) + C$