Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\int \frac{2 (x) - 4}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\int \frac{2 x + 2 \cdot - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$\int \frac{2 (x - 2)}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Этап 2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{x - 2}{3 x^{2} - 12 x + 1} d x$

Этап 3

Пусть $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Тогда $d u = (6 x - 12) d x$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = (x - 2) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = 3 x^{2} - 12 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 12 x + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 12 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Этап 3.1.5.2

Добавим $6 x - 12$ и $0$ .

$6 x - 12$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 6} d u$

Этап 4.2

Перенесем $6$ влево от $u$ .

$2 \int \frac{1}{6 u} d u$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $2$ .

$\frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $2$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 7

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 8

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 12 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 x^{2} - 12 x + 1 |) + C$