Математический анализ Примеры

$\int \frac{2 x + 2}{{(x^{2} + 2 x - 4)}^{4}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Тогда $d u = (2 x + 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$2 x + 2$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{4}} d u$

Этап 2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $u^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{4 \cdot - 1} d u$

Этап 2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int u^{- 4} d u$

Этап 3

По правилу степени интеграл $u^{- 4}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Этап 4.2.2

Перенесем $3$ влево от $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- \frac{1}{3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{3}} + C$