Математический анализ Примеры

$\int \frac{3 x + 2}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $x = \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\cos (t)$ положительно.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Этап 2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $\cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \sin (t) + 2}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Этап 2.2.2

Перепишем это выражение.

$\int 3 \sin (t) + 2 d t$

Этап 3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 2 d t$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sin (t) d t + \int 2 d t$

Этап 5

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 2 d t$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (- \cos (t) + C) + 2 t + C$

Этап 7

Упростим.

$- 3 \cos (t) + 2 t + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (x)$ .

$- 3 \cos (\arcsin (x)) + 2 \arcsin (x) + C$