Математический анализ Примеры

$\int \frac{2}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{{(2 x - 7)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 2 x - 7$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 2 x - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $2 x - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 7]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{u^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

Этап 3.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u^{2}} d u$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.1.3

Умножим $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ на $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 5.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 5.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 5.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Этап 6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Этап 7

Перепишем $- u^{- 1} + C$ в виде $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 7$ .

$- \frac{1}{2 x - 7} + C$