Математический анализ Примеры

$\int - \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{2200 x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Поскольку $2200$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2200$ из-под знака интеграла.

$- (2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x)$

Этап 3

Умножим $2200$ на $- 1$ .

$- 2200 \int \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 25 - x^{2}$ . Тогда $d u = - 2 x d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 25 - x^{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $25 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x$

Этап 4.1.4

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- 2200 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Этап 5.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- 2200 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$- 2200 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- 2200 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 2200$ .

$2200 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2200 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2200$ .

$\frac{2200}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель $2200$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2200$ .

$\frac{2 \cdot 1100}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1100}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1100}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1100}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.1.2.2.4

Разделим $1100$ на $1$ .

$1100 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 9.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$1100 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 9.2.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$1100 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 9.2.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1100 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 9.2.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$1100 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 9.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1100 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $1100 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$1100 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11.2

Умножим $1100$ на $2$ .

$2200 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $25 - x^{2}$ .

$2200 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$