Математический анализ Примеры

$\int \frac{12 x + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x + 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 18}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $6$ из $18$ .

$\int \frac{6 (2 x) + 6 (3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x) + 6 (3)$ .

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{x^{2} + 3 x - 4}} d x$

Этап 1.2

Разложим $x^{2} + 3 x - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $3$ .

$- 1, 4$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\int \frac{6 (2 x + 3)}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Этап 2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$6 \int \frac{2 x + 3}{\sqrt{(x - 1) (x + 4)}} d x$

Этап 3

Пусть $u = (x - 1) (x + 4)$ . Тогда $d u = (2 x + 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{2 x + 3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = (x - 1) (x + 4)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 1) (x + 4)]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = x + 4$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3.4.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$x - 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.1.3.5

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x - 1 + (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.1.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.1.3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x - 1 + (x + 4) (1 + 0)$

Этап 3.1.3.8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x - 1 + (x + 4) \cdot 1$

Этап 3.1.3.8.2

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$x - 1 + x + 4$

Этап 3.1.3.8.3

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x - 1 + 4$

Этап 3.1.3.8.4

Добавим $- 1$ и $4$ .

$2 x + 3$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$6 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$6 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$6 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $6 (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$6 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 6.2

Умножим $6$ на $2$ .

$12 u^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $(x - 1) (x + 4)$ .

$12 {((x - 1) (x + 4))}^{\frac{1}{2}} + C$