Математический анализ Примеры

$\int \frac{12}{1 + 9 x^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \frac{1}{1 + 9 x^{2}} d x$

Этап 2

Вынесем множитель $9$ из $1 + 9 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $9$ из $1$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 x^{2}} d x$

Этап 2.2

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})} d x$

Этап 2.3

Вынесем множитель $9$ из $9 (\frac{1}{9}) + 9 (x^{2})$ .

$12 \int \frac{1}{9 (\frac{1}{9} + x^{2})} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$12 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{9}$ и $12$ .

$\frac{12}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 (4)}{9} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{\frac{1}{9} + x^{2}} d x$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2}$ .

$\frac{4}{3} \int \frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{{(\frac{1}{3})}^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{\frac{1}{3}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (1 \cdot 3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 7.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{3}}) + C)$

Этап 7.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (x \cdot 3) + C)$

Этап 7.1.4

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{4}{3} (3 \arctan (3 x) + C)$ в виде $\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$ .

$\frac{4}{3} \cdot 3 \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{3} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.3

Сократим общий множитель $12$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{1} \arctan (3 x) + C$

Этап 7.3.3.2.4

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \arctan (3 x) + C$