Математический анализ Примеры

$\int \frac{10 x^{3} - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Этап 1

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{3} - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $5 x$ из $10 x^{3}$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) - 5 x}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $5 x$ из $- 5 x$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Этап 1.3

Вынесем множитель $5 x$ из $5 x (2 x^{2}) + 5 x (- 1)$ .

$\int \frac{5 x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Этап 2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int \frac{x (2 x^{2} - 1)}{\sqrt{x^{4} - x^{2} + 6}} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Тогда $d u_{1} = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = x^{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{\sqrt{u_{1}}}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ в виде ${u_{1}}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{1}}$ в виде ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{4}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{\frac{2}{1}} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6} \cdot 2} d u_{1}$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}$ .

$5 \int \frac{2 u_{1} - 1}{2 \sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1})$

Этап 6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{2 u_{1} - 1}{\sqrt{{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6}} d u_{1}$

Этап 7

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Тогда $d u_{2} = (2 u_{1} - 1) d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2 u_{1} - 1} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть $u_{2} = {u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Дифференцируем ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} - u_{1} + 6]$

Этап 7.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

По правилу суммы производная ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ по $u_{1}$ имеет вид $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Этап 7.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Этап 7.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $- u_{1}$ по $u_{1}$ равна $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 u_{1} - \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Этап 7.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 u_{1} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Этап 7.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 u_{1} - 1 + \frac{d}{d u_{1}} [6]$

Этап 7.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Поскольку $6$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $6$ относительно $u_{1}$ равна $0$ .

$2 u_{1} - 1 + 0$

Этап 7.1.4.2

Добавим $2 u_{1} - 1$ и $0$ .

$2 u_{1} - 1$

Этап 7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2}$

Этап 8

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u_{2}}$ в виде ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2}$

Этап 8.2

Вынесем ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{5}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 8.3

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2}$

Этап 8.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2}$

Этап 9

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\frac{5}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C)$ в виде $\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{5}{2} \cdot 2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $2$ .

$\frac{5 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{1} {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.3.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$5 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на ${u_{1}}^{2} - u_{1} + 6$ .

$5 {({u_{1}}^{2} - u_{1} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$5 {({(x^{2})}^{2} - x^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}} + C$