Математический анализ Примеры

$\int \frac{1 - 2 \sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}} d z$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{z}$ в виде $z^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{1 - 2 z^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{z}} d z$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{z}$ в виде $z^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{1 - 2 z^{\frac{1}{3}}}{z^{\frac{1}{3}}} d z$

Этап 3

Вынесем $z^{\frac{1}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) {(z^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d z$

Этап 4

Перемножим экспоненты в ${(z^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d z$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 1$ .

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{\frac{- 1}{3}} d z$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (1 - 2 z^{\frac{1}{3}}) z^{- \frac{1}{3}} d z$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3}} z^{- \frac{1}{3}} d z$

Этап 5.2

Умножим $z^{- \frac{1}{3}}$ на $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3}} z^{- \frac{1}{3}} d z$

Этап 5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}} d z$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{1 - 1}{3}} d z$

Этап 5.5

Вычтем $1$ из $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{0}{3}} d z$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 (0)}{3}} d z$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} d z$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} d z$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{\frac{0}{1}} d z$

Этап 5.6.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 z^{0} d z$

Этап 5.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 \cdot 1 d z$

Этап 5.8

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\int z^{- \frac{1}{3}} - 2 d z$

Этап 6

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int z^{- \frac{1}{3}} d z + \int - 2 d z$

Этап 7

По правилу степени интеграл $z^{- \frac{1}{3}}$ по $z$ имеет вид $\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} + C + \int - 2 d z$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} + C - 2 z + C$

Этап 9

Упростим.

$\frac{3}{2} z^{\frac{2}{3}} - 2 z + C$