Математический анализ Примеры

$\int \frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} d t$

Этап 1

Пусть $u = 1 + \sin (t)$ . Тогда $d u = \cos (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 1 + \sin (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $1 + \sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [1 + \sin (t)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \sin (t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 1.1.3

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$0 + \cos (t)$

Этап 1.1.4

Добавим $0$ и $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \sin (t)$ .

$\ln (| 1 + \sin (t) |) + C$