Математический анализ Примеры

$\int \frac{5 x + 1}{(2 x + 1) (x - 1)} d x$

Этап 1

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Этап 1.1.2

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Этап 1.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(2 x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.4

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)}{(2 x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(5 x + 1) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.5.2

Разделим $5 x + 1$ на $1$ .

$5 x + 1 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Сократим общий множитель $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 1 = \frac{A (2 x + 1) (x - 1)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.1.2

Разделим $(A) (x - 1)$ на $1$ .

$5 x + 1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.3

Перенесем $- 1$ влево от $A$ .

$5 x + 1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.4

Перепишем $- 1 A$ в виде $- A$ .

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.5

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$5 x + 1 = A x - A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Этап 1.1.6.5.2

Разделим $(B) (2 x + 1)$ на $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + (B) (2 x + 1)$

Этап 1.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 1 = A x - A + B (2 x) + B \cdot 1$

Этап 1.1.6.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B \cdot 1$

Этап 1.1.6.8

Умножим $B$ на $1$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 B x + B$

Этап 1.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.7.1

Перенесем $B$ .

$5 x + 1 = A x - A + 2 x B + B$

Этап 1.1.7.2

Перенесем $- A$ .

$5 x + 1 = A x + 2 x B - A + B$

Этап 1.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$5 = A + 2 B$

Этап 1.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = - 1 A + B$

Этап 1.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$5 = A + 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 1.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Решим относительно $A$ в $5 = A + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + 2 B = 5$ .

$A + 2 B = 5$

$1 = - 1 A + B$

Этап 1.3.1.2

Вычтем $2 B$ из обеих частей уравнения.

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 1 A + B$

Этап 1.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $5 - 2 B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $1 = - 1 A + B$ на $5 - 2 B$ .

$1 = - 1 (5 - 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Упростим $- 1 (5 - 2 B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = - 1 \cdot 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$1 = - 5 - 1 (- 2 B) + B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 2 B + B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.2.2.1.2

Добавим $2 B$ и $B$ .

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

$1 = - 5 + 3 B$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3

Решим относительно $B$ в $1 = - 5 + 3 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 + 3 B = 1$ .

$- 5 + 3 B = 1$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.2

Перенесем все члены без $B$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$3 B = 1 + 5$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

$3 B = 6$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3

Разделим каждый член $3 B = 6$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.1

Разделим каждый член $3 B = 6$ на $3$ .

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 B}{3} = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

$B = \frac{6}{3}$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.3.3.1

Разделим $6$ на $3$ .

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

$B = 2$

$A = 5 - 2 B$

Этап 1.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $2$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 5 - 2 B$ на $2$ .

$A = 5 - 2 \cdot 2$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1

Упростим $5 - 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.2.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$A = 5 - 4$

$B = 2$

Этап 1.3.4.2.1.2

Вычтем $4$ из $5$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Этап 1.3.5

Перечислим все решения.

$A = 1, B = 2$

Этап 1.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1}$

Этап 1.5

Удалим ноль из выражения.

$\int \frac{1}{2 x + 1} + \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{2 x + 1} d x + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 3

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Тогда $d u_{1} = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u_{1} = 2 x + 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 3.1.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 3.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{u_{1}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 4.2

Перенесем $2$ влево от $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{x - 1} d x$

Этап 7

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Этап 8

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Пусть $u_{2} = x - 1$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Дифференцируем $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 8.1.2

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 8.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 9

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Этап 10

Упростим.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Этап 11.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x - 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + 2 \ln (| x - 1 |) + C$