Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 x^{3} + 3}{x^{4} + 3 x} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{4} + 3 x$ . Тогда $d u = (4 x^{3} + 3) d x$ , следовательно $\frac{1}{4 x^{3} + 3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{4} + 3 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 3 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x^{3} + 3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Этап 2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Этап 3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 3 x$ .

$\ln (| x^{4} + 3 x |) + C$