Математический анализ Примеры

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}} d x$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 5 x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (4 + 5 x^{\frac{3}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2}} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{3 - 1}{2}} d x$

Этап 4.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{\frac{2}{2}} d x$

Этап 4.5.2

Перепишем это выражение.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x^{1} d x$

Этап 4.6

Упростим.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 5 x d x$

Этап 4.7

Изменим порядок $4 x^{- \frac{1}{2}}$ и $5 x$ .

$\int 5 x + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 5 x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$5 \int x d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 8

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$5 (\frac{1}{2}) x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Этап 10.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{5}{2} x^{2} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$