Математический анализ Примеры

$y = \sin (\sin (x))$ , $(3 π, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3 π$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Этап 1.3

Изменим порядок множителей в $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Этап 1.4

Найдем производную в $x = 3 π$ .

$\cos (3 π) \cos (\sin (3 π))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\cos (π) \cos (\sin (3 π))$

Этап 1.5.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- \cos (0) \cos (\sin (3 π))$

Этап 1.5.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (3 π))$

Этап 1.5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 \cos (\sin (3 π))$

Этап 1.5.5

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 1 \cos (\sin (π))$

Этап 1.5.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Этап 1.5.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Этап 1.5.8

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 1.5.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $- 1$ и координаты заданной точки $(3 π, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (3 π))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - 3 π)$

Этап 2.3.2

Упростим $- 1 \cdot (x - 3 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 1 x - 1 (- 3 π)$

Этап 2.3.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y = - x - 1 (- 3 π)$

Этап 2.3.2.2.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$y = - x + 3 π$

Этап 3