Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{3} - 4 x^{2} + 7}{x - 4} d x$

Этап 1

Разделим $x^{3} - 4 x^{2} + 7$ на $x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$7$

Этап 1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$

Этап 1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Этап 1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Этап 1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
						$0$

Этап 1.6

Вынесем следующий член из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$7$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
						$0$	+	$0 x$	+	$7$

Этап 1.7

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x^{2} + \frac{7}{x - 4} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{2} d x + \int \frac{7}{x - 4} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{7}{x - 4} d x$

Этап 4

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 \int \frac{1}{x - 4} d x$

Этап 5

Пусть $u = x - 4$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = x - 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Этап 5.1.2

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5.1.4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 7 (\ln (| u |) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{3} x^{3} + 7 \ln (| u |) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 7 \ln (| x - 4 |) + C$