Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{x^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{x}) d x$

Этап 1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\cos (\frac{1}{x})$ .

$\int \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = \frac{1}{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.1.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Этап 2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - \cos (u) d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \cos (u) d u$

Этап 4

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- (\sin (u) + C)$

Этап 5

Упростим.

$- \sin (u) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \sin (\frac{1}{x}) + C$