Математический анализ Примеры

$\int \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Этап 1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{3}}} d x$

Этап 2

Пусть $x = 5 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = 5 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $5 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $\sqrt{{(25 - {(5 \sin (t))}^{2})}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим правило умножения к $5 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (5^{2} \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - (25 \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.1.3

Умножим $25$ на $- 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $25$ из $25$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) - 25 \sin^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $25$ из $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $25$ из $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 (1 - \sin^{2} (t)))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(25 \cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.6

Применим правило умножения к $25 \cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{25^{3} {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.7

Возведем $25$ в степень $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {(\cos^{2} (t))}^{3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.8

Перемножим экспоненты в ${(\cos^{2} (t))}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 {\cos (t)}^{2 \cdot 3}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.8.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{15625 \cos^{6} (t)}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.9

Перепишем $15625 \cos^{6} (t)$ в виде ${(125 \cos^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(125 \cos^{3} (t))}^{2}}} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.1.10

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{1}{125 \cos^{3} (t)} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $5 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $5 \cos (t)$ из $125 \cos^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{5 \cos (t) (25 \cos^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{1}{25 \cos^{2} (t)} d t$

Этап 4

Поскольку $\frac{1}{25}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{25}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{25} \int \frac{1}{\cos^{2} (t)} d t$

Этап 5

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (t)}$ в $\sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{25} \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 6

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$\frac{1}{25} (\tan (t) + C)$

Этап 7

Упростим.

$\frac{1}{25} \tan (t) + C$

Этап 8

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{x}{5})$ .

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{x}{5})) + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{25} \tan (\arcsin (\frac{1}{5} x)) + C$