Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{2} + 2 x + 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ . Тогда $d u = (3 x^{2} + 6 x + 9) d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = (x^{2} + 2 x + 3) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $9$ на $1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $3 x^{2} + 6 x + 9$ и $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 9$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 3} d u$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{3 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u |) + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{3} \ln (| u |) + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1$ .

$\frac{1}{3} \ln (| x^{3} + 3 x^{2} + 9 x + 1 |) + C$