Математический анализ Примеры

$\int \frac{\arctan (3 x)}{1 + 9 x^{2}} d x$

Этап 1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Тогда $d u_{1} = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u_{1} = 3 x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}) \cdot 3} d u_{1}$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}$ .

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{3 (1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2})} d u_{1}$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{3} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 9 {(\frac{u_{1}}{3})}^{2}} d u_{1}$

Этап 4

Пусть $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Тогда $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , следовательно $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Этап 4.1.2

Производная $\arctan (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Этап 4.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Этап 4.1.4

Переставляем члены.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u_{2}$ по $u_{2}$ имеет вид $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ в виде $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 6.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Этап 7

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Этап 7.2

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x$ .

$\frac{1}{6} {\arctan (3 x)}^{2} + C$