Математический анализ Примеры

$\int \frac{\sqrt{4 x^{2} - 9}}{x} d x$

Этап 1

Пусть $x = \frac{3}{2} \sec (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d x = \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ положительно.

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\sqrt{4 {(\frac{3}{2} \sec (t))}^{2} - 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 {(\frac{3 \sec (t)}{2})}^{2} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Применим правило умножения к $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{{(3 \sec (t))}^{2}}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.2.2

Применим правило умножения к $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{3^{2} \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{2^{2}} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{\sqrt{4 \frac{9 \sec^{2} (t)}{4} - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.1.5.2

Перепишем это выражение.

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.6

Перепишем $9 \tan^{2} (t)$ в виде ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3}{2} \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{3}{2}$ и $\sec (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{\frac{3 \sec (t)}{2}} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 \sec (t)}{2}$ .

$\int 3 \tan (t) \frac{2}{3 \sec (t)} \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.3

Объединим $\frac{2}{3 \sec (t)}$ и $3$ .

$\int \frac{2 \cdot 3}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\int \frac{6}{3 \sec (t)} \tan (t) \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{6}{3 \sec (t)}$ и $\tan (t)$ .

$\int \frac{6 \tan (t)}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $6 \tan (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 (\sec (t))} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 (2 \tan (t))}{3 \sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{2 \tan (t)}{\sec (t)} \cdot \frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2} d t$

Этап 2.2.7

Умножим $\frac{2 \tan (t)}{\sec (t)}$ на $\frac{3 \sec (t) \tan (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \tan (t) (3 \sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $2$ .

$\int \frac{6 \tan (t) (\sec (t) \tan (t))}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.9

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.10

Возведем $\tan (t)$ в степень $1$ .

$\int \frac{6 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{6 {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t) \cdot 2} d t$

Этап 2.2.13

Перенесем $2$ влево от $\sec (t)$ .

$\int \frac{6 \tan^{2} (t) \sec (t)}{2 \cdot \sec (t)} d t$

Этап 2.2.14

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Вынесем множитель $2$ из $6 \tan^{2} (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Этап 2.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 (\sec (t))} d t$

Этап 2.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2 (3 \tan^{2} (t) \sec (t))}{2 \sec (t)} d t$

Этап 2.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Этап 2.2.15

Сократим общий множитель $\sec (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.15.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \tan^{2} (t) \sec (t)}{\sec (t)} d t$

Этап 2.2.15.2

Разделим $3 \tan^{2} (t)$ на $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Этап 4

Используя формулы Пифагора, запишем $\tan^{2} (t)$ в виде $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Этап 7

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Этап 8

Упростим.

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $t$ на $arcsec (\frac{2 x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))) + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{2 x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{2 x}{3}))$ равно $\sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Этап 10.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{2 x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Этап 10.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{2 x}{3}$ и $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + 1) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Этап 10.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(\frac{2 x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Этап 10.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1)}) + C$

Этап 10.1.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Этап 10.1.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} (\frac{2 x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Этап 10.1.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Этап 10.1.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{2 x + 3}{3} \cdot \frac{2 x - 3}{3}}) + C$

Этап 10.1.10

Умножим $\frac{2 x + 3}{3}$ на $\frac{2 x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Этап 10.1.11

Умножим $3$ на $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}}) + C$

Этап 10.1.12

Перепишем $\frac{(2 x + 3) (2 x - 3)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.12.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(2 x + 3) (2 x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{9}}) + C$

Этап 10.1.12.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Этап 10.1.12.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((2 x + 3) (2 x - 3))}) + C$

Этап 10.1.13

Вынесем члены из-под знака корня.

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}) + C$

Этап 10.1.14

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Этап 10.2

Чтобы записать $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Этап 10.3

Объединим $- arcsec (\frac{2 x}{3})$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3}) + C$

Этап 10.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)}}{3} + C$

Этап 10.5.2

Перепишем это выражение.

$- arcsec (\frac{2 x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Этап 10.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{2 x}{3}) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 3 arcsec (\frac{2}{3} x) + \sqrt{(2 x + 3) (2 x - 3)} + C$