Математический анализ Примеры

$\int \frac{x^{\frac{1}{3}} - 3}{x^{\frac{2}{3}}} d x$

Этап 1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем $x^{\frac{2}{3}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d x$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d x$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d x$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{\frac{- 2}{3}} d x$

Этап 1.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int (x^{\frac{1}{3}} - 3) x^{- \frac{2}{3}} d x$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Тогда $d u = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ , следовательно $- d u = \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x^{\frac{1}{3}} - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}} - 3]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{3}} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.5.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0$

Этап 2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 2.1.5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0$

Этап 2.1.5.2.2

Добавим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int 3 u d u$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int u d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $3 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$3 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Этап 5.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{2} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$\frac{3}{2} {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + C$