Математический анализ Примеры

$y = (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (x^{2} + 1))$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ и $g (x) = x^{2} + 1$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$(\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2.4.2

Перенесем $2$ влево от $\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ .

$2 \cdot (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}]$

Этап 3.2.5

По правилу суммы производная $\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [\frac{x}{3.8}] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Этап 3.2.6

Поскольку $\frac{1}{3.8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{3.8}$ по $x$ равна $\frac{1}{3.8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Этап 3.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Этап 3.2.8

Умножим $\frac{1}{3.8}$ на $1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + \frac{d}{d x} [\frac{3.8}{x}])$

Этап 3.2.9

Поскольку $3.8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3.8}{x}$ по $x$ равна $3.8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 3.2.10

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 3.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + 3.8 (- x^{- 2}))$

Этап 3.2.12

Умножим $- 1$ на $3.8$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 x^{- 2})$

Этап 3.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x}{3.8} + \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \frac{x}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x}) x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{x}{3.8} x + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{3.8}$ .

$\frac{2 x}{3.8} x + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.2

Объединим $\frac{2 x}{3.8}$ и $x$ .

$\frac{2 x \cdot x}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x)}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1})}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x^{1 + 1}}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 2 \frac{3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.7

Объединим $2$ и $\frac{3.8}{x}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{2 \cdot 3.8}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.8

Умножим $2$ на $3.8$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6}{x} x + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.9

Объединим $\frac{7.6}{x}$ и $x$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + \frac{7.6 x}{x} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.10.2

Разделим $7.6$ на $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - 3.8 \frac{1}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.11

Объединим $- 3.8$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} + \frac{- 3.8}{x^{2}})$

Этап 3.4.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + 7.6 + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}})$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{2}}{3.8} + (x^{2} + 1) (\frac{1}{3.8} - \frac{3.8}{x^{2}}) + 7.6$